О СУЩЕСТОВАНИИ МИНИМУМА ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ В НОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

Рассматривается задача минимизации дифференцируемого функционала, определенного на выпуклом подмножестве нормированного пространства. Классические условия существования минимума в таких задачах содержат явно или неявно предположение компактности области определения, а их доказательства основаны на теореме Вейерштрасса. В настоящей работе рассматривается подход, основанный на условии типа Карисити и не содержащий предположения компактности области определения функционала в каких-либо естественных топологиях. В терминах первой производной функционала получены достаточные условия существования минимумов, получены оценки расстояния от заданной точки до некоторой точки минимума. Для локально липшицевых функционалов, определенных на конечномерных пространствах получены достаточные условия существования минимума в терминах обобщенной производной Кларка и оценки расстояния от заданной точки до некоторой точки минимума. Обсуждаются приложения полученных результатов к абстрактным уравнениям. В качестве следствия достаточных условий существования минимума дифференцируемой функции получены условия разрешимости абстрактных нелинейных уравнений и оценки решений.